Институт математики и механики, кафедра дифференциальных уравнений
Направление:
 01.03.01  «Математика» (общий профиль)

Учебный план: ИМиМ, Математика (Общий профиль) очное бакалавр 2015 г.

Дисциплина: «Дифференциальные уравнения» (бакалавриат, 2 курс, очное обучение)

Количество часов: 216 ч. (в том числе: лекции – 66, практические занятия – 70, самостоятельная работа – 80), форма контроля: зачет, экзамен.

Аннотация: Данный  курс является продолжением курса «Дифференциальные уравнения, часть 1» (URL: http://edu.kpfu.ru/course/view.php?id=1023).

Целями освоения дисциплины (модуля) "Дифференциальные уравнения" являются:

1) фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений;

2) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений и их систем;

3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.

Темы: 

18. О нулях решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

19. Краевая задача для нормальной линейной системы.

20. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка (метод «стрельбы», метод «прогонки».

21. Решение краевых задач  для линейного уравнения второго порядка с помощью функции Грина (тождество Лагранжа, формула Грина, случай, когда однородная  краевая задача имеет только тривиальное решение, случай, когда однородная  краевая задача имеет нетривиальное решение).

22. Краевая задача на собственные значения. Теорема Стеклова.

Теория устойчивости.

23. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

24. Исследование на устойчивость по первому  приближению.

Автономные системы.

25. Автономные системы и их фазовые пространства.

26. Свойства решений автономных систем.

27. Примеры автономных систем (случаи, когда фазовое пространство есть прямая или окружность).

28. Фазовая плоскость линейной автономной системы с постоянными коэффициентами (узел, седло, фокус, центр, вырожденные случаи).

29. Фазовый портрет автономной системы на плоскости (функция последования, предельный цикл).

30. Ламповый генератор.

Уравнения с частными производными первого порядка.

31. Основные определения.

32. Линейные однородные уравнения (связь между решениями уравнения и первыми интегралами характеристической системы, решение задачи Коши в окрестности нехарактеристической точки).

33. Квазилинейные уравнения (связь между характеристиками и интегральной поверхностью в случае n=2, сведение к линейному однородному уравнению, структура общего решения, специальные решения,  решение задачи Коши в окрестности нехарактеристической точки при n=2).

34. Нелинейные уравнения.

 

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, теорема существования и единственности, устойчивость по Ляпунову, нормальные системы дифференциальных уравнений, непродолжаемые решения

Автор курса:  Бикчантаев Ильдар Ахмедович, профессор кафедры дифференциальных уравнений, доктор физико-математических наук, тел.: 89274070835, email: ibikchan@kpfu.ru

Дата начала эксплуатации: 12 января 2016 года

Рабочая программа

Краткий конспект курса

Институт математики и механики, кафедра дифференциальных уравнений
Направление:
01.03.01  «Математика» (общий профиль)

Учебный план: ИМиМ, Математика (Общий профиль) очное бакалавр 2015 г.

Дисциплина: «Дифференциальные уравнения» (бакалавриат, 2 курс, очное обучение)

Количество часов: 216 ч. (в том числе: лекции – 66, практические занятия – 70, самостоятельная работа – 80), форма контроля: зачет, экзамен.

Аннотация: Целями освоения дисциплины (модуля) "Дифференциальные уравнения" являются:

1) фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений;

2) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений и их систем;

3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.

Темы: 

1. Основные понятия.

2.  Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (радиоактивный распад, размножение бактерий, математический маятник).

3. Геометрическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений.

4. Решение простейших уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными,

однородные, линейные, Бернули, в полных дифференциалах, интегрирующий множитель).

5. Комплексные числа и комплексные функции действительного аргумента.

6. Сведения из линейной алгебры.

7. Леммы о вектор-функциях.

Общая теория нормальных систем дифференциальных уравнений.

8. Теорема существования и единственности. Случай линейной нормальной системы уравнений.

9. Продолжение решений.

10. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

11. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

12. Дифференцируемость решения по параметрам и начальным условиям.

13. Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши.

Линейные дифференциальные уравнения.

14. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений (пространство решений однородной системы, фундаментальные матрицы, формула Лиувилля, сопряженное уравнение, понижение порядка линейной однородной системы, линейные неоднородные системы).

15. Линейное уравнение n-го порядка.

16. Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами.

17. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка.

 Общие линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, метод исключения.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, теорема существования и единственности, устойчивость по Ляпунову, нормальные системы дифференциальных уравнений, непродолжаемые решения

Автор курса:  Бикчантаев Ильдар Ахмедович, профессор кафедры дифференциальных уравнений, доктор физико-математических наук, тел.: 89274070835, email: ibikchan@kpfu.ru

Дата начала эксплуатации: 15 октября 2015 года

Рабочая программа

Краткий конспект лекций

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, кафедра дифференциальных уравнений

Направление: 01.04.01 Математика

Программа учебного плана: ИМиМ, Математика (Анализ на многообразиях) очное магистр 2015 г.

Дисциплина: Мероморфные функции

Количество часов: 144 ч. (в том числе: 14 лекции, 28 практические занятия, 102 самостоятельная работа), форма контроля: экзамен.

Темы: 1. Особые точки аналитических функций, 2. Порядок и тип целых функций, 3. Рациональные и мероморфные функции на плоскости, 4. Разложение мероморфных функций на простые дроби, 5. Характеристика Неванлинны и ее свойства

Аннотация: Курс посвящен изучению различных свойств целых и мероморфных функций. Мероморфные функции играют весьма существенную роль в современных исследованиях по комплексному анализу и математической физике. Хорошо известные и популярные гамма функция Эйлера и дзета функция Римана являются мероморфными функциями, поэтому обладают многими свойствами, присущими мероморфным функциям в целом. Это позволяет проводить систематические исследования таких объектов исходя из общей теории мероморфных функций, элементы которой и предлагается изложить на лекциях.

Ключевые слова: Аналитические функции, целые функции, мероморфные функции, произведения Бляшке, бесконечные произведения, простые дроби, характеристика Неванлинны.

Авторы курса: Каюмов Ильгиз Рифатович, д.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных уравнений , e-mail: ikayumov@kpfu.ru,

Дата начала эксплуатации: 1 сентября 2015 года

Рабочая программа

Краткий конспект лекций

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, кафедра дифференциальных уравнений

Направление: 01.04.01 Математика (магистратура, 1 курс, очное обучение)

Учебный план: ИМиМ, Математика (Анализ на многообразиях) очное магистр 2015 г.

Дисциплина: Банаховы пространства аналитических функций

Количество часов: 144 ч. (в том числе : лекции - 14, практические занятия - 28, самостоятельная работа - 102); форма контроля - зачет с оценкой (1 семестр)

Аннотация: Курс посвящен изучению различных пространств функций аналитических в единичном круге, в частности, пространств Харди и весьма важного в современных исследованиях пространства Блоха. Граничное поведение конформных отображений играет весьма существенную роль в современных исследованиях по комплексному анализу и математической физике. Для описания граничного поведения конформных отображений хорошо подходит аппарат гармонической меры, а также теоремы Поммеренке и Макарова о поведении спектра интегральных средних. Эти результаты и планируется изложить на лекциях по данной теме.

Темы: 1. Элементы функционального анализа. 2. Гармонические функции и их свойства. 3. Ограниченные аналитические функции. 4. Конформные отображения. 5.Интегральные средние. 6. Граничные свойства конформных отображений.

Ключевые слова : аналитическая функция, гармоническая функция, Банахово пространство, Гильбертово пространство, пространство Харди, пространство Блоха, гармоническая мера, задача Дирихле, произведения Бляшке.

Автор : Каюмов Ильгиз Рифатович, доцент кафедры дифференциальных уравнений Института математики и механики, доктор физико-математических наук, e-mail: ikayumov@gmail.com

Дата начала эксплуатации: 1 сентября 2015

Доступность: записанные на курс пользователи

Язык интерфейса: русский

URL: http://edu.kpfu.ru/course/view.php?id=947


Рабочая программа

Краткий конспект лекций